포물선 운동

핵심 개념

공을 던지면 두 가지 힘이 작용한다.

• Y축: 중력 때문에 속도가 계속 변함
• X축: 아무 힘도 없어서 속도 일정

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1. 기본 공식

속도

• y축 속도 = 초기 y축 속도- (중력 가속도*시간)
• $vy=v_{0}y$ = 각도 Sin(세타) * 초기 속도 $vy=v_{0}y-g\cdot t$
• x축 속도

$vx=v_{0}x$

위치

$y=v_{0}y\cdot t-\frac{1}{2}g\cdot t^2$ $x=v_{0}x\cdot t$

Y축은 올라갔다 내려오고, X축은 꾸준히 앞으로 나간다.

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2. 각도 → 초기 속도 분리

각도 θ가 주어지면 초기 속도를 x, y로 쪼갠다.

$v_{0}y=v_0\times \sin (\theta )$ $v_{0}x=v_0\times \cos (\theta )$

        /|
   v₀  / |  v₀y = v₀ × sin(θ)
      /  |
     / θ |
    /----+
     v₀x = v₀ × cos(θ)

각도별 특징

각도	v₀x	v₀y	특징
0°	v₀	0	앞으로만 이동
45°	v₀ × 0.707	v₀ × 0.707	균형, 수평 거리 최대
90°	0	v₀	위로만 이동

sin → 높이 담당
cos → 수평 거리 담당

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3. 최고점 구하기

최고점 조건

최고점에서 Y축 속도 = 0

$vy=v_{0}y-g\cdot t=0$ $t=\frac{v_{0}y}{g}$

“초기 속도를 중력이 전부 상쇄하는 데 걸리는 시간”

최대 높이

t = v₀y/g 를 높이 공식에 대입

$y_{max}=\frac{v_0{y}^2}{2g}$

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4. 전체 풀이 흐름

각도 θ 주어짐
    ↓
v₀y = v₀ × sin(θ)
v₀x = v₀ × cos(θ)
    ↓
최고점 시간 t = v₀y / g
    ↓
최대 높이 y_max = v₀y² / 2g

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5. 예제

조건: v₀ = 10m/s, g = 10m/s², θ = 45°

Step 1. 초기 속도 분리 $v_{0}y=10\times \sin (45°)\approx 7.07,m/s$ $v_{0}x=10\times \cos (45°)\approx 7.07,m/s$

Step 2. 최고점 도달 시간 $t=\frac{7.07}{10}\approx 0.707,초$

Step 3. 최대 높이 $y_{max}=\frac{7.07^2}{2\times 10}=\frac{50}{20}=2.5,m$

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6. 게임 구현 관점

매 프레임마다 아래처럼 업데이트한다.

vy -= g * deltaTime;      // 중력 적용
y  += vy * deltaTime;     // Y축 위치 업데이트
x  += vx * deltaTime;     // X축 위치 업데이트

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연관 개념

• 반사 벡터 — V - 2(V·N)N
• 슬라이딩 벡터 — V - (V·N)N
• 내적과 외적