행렬 곱 (Matrix Multiplication)

선형대수학 행렬 수학 핵심개념

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📌 핵심 정의

정의 행렬 A (m×n) 와 B (n×p) 의 곱 C = AB 는 m×p 행렬이다. A의 열 수 = B의 행 수 일 때만 곱셈이 가능하다.

$A_{m\times n}\times B_{n\times p}=C_{m\times p}$

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크기 조건 (Dimension Check)

행렬	크기	조건
A	m × n	열 수 = n
B	n × p	행 수 = n (A의 열 수와 일치해야 함)
C (결과)	m × p	자동 결정

주의 크기 조건이 맞지 않으면 곱셈 자체가 정의되지 않는다. 예: A (2×3) × B (2×3) → ❌ 불가능

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계산 방법

결과 행렬 C의 (i, j)번째 원소 = A의 i번째 행 과 B의 j번째 열 의 내적(dot product)

$C[i][j]={\sum }_{k=1}^{n}A[i][k]\cdot B[k][j]$

구체적 예시 (2×2)

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 23& 4\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{ccc}5& 67& 8\end{array}\right]$

원소별 계산:

• $C[1][1]=1\times 5+2\times 7=5+14=19$
• $C[1][2]=1\times 6+2\times 8=6+16=22$
• $C[2][1]=3\times 5+4\times 7=15+28=43$
• $C[2][2]=3\times 6+4\times 8=18+32=50$

$AB=\left[\begin{array}{ccc}19& 2243& 50\end{array}\right]$ $C[i][j]$ = A의 i행 · B의 j열의 내적

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성질 (Properties)

성질	표현	성립 여부
결합법칙	$(AB)C=A(BC)$	✅ 성립
분배법칙	$A(B+C)=AB+AC$	✅ 성립
교환법칙	$AB\ne BA$ (일반적으로)	❌ 불성립
전치	$(AB{)}^T=B^T{A}^T$	✅ 순서 뒤집힘
단위행렬	$AI=IA=A$	✅ 성립
역행렬	$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$	✅ 순서 뒤집힘

교환법칙 불성립! 행렬 곱은 순서가 중요하다. $AB$가 정의되더라도 $BA$가 정의되지 않을 수 있고, 둘 다 정의되더라도 결과가 다를 수 있다.

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시간 복잡도 & 알고리즘

단순 구현의 시간 복잡도: $O(n^3)$

알고리즘	시간 복잡도	특징
단순 3중 루프	$O(n^3)$	가장 직관적인 구현
Strassen	$O(n^{2.807})$	분할 정복, 곱셈 횟수 감소
Coppersmith-Winograd	$O(n^{2.373})$	이론적 최적, 실용성 낮음
BLAS / cuBLAS (GPU)	실용적 최속	딥러닝 프레임워크에서 사용

핵심 요약

기억할 것

1. 크기 조건: A의 열 수 = B의 행 수
2. 원소 계산: $C[i][j]$ = A의 i행 · B의 j열의 내적
3. 교환법칙 없음: $AB\ne BA$
4. 전치/역행렬: 순서가 뒤집힌다 — $(AB{)}^T=B^T{A}^T$

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